数学拾遗

我是工科出身，数学学的一般。因为工作与学习会碰到一些以前没有接触过的数学知识，本文作为记录，备忘

代数

数域

数域是近世代数学中常见的概念，指对加减乘除四则运算封闭的代数系统。通常定义的数域是指复数域 C 的子域。“数域”一词有时也被用作代数数域的简称，但两者的定义有细微的差别¹。用 \(\mathbf{Z}, \mathbf{Q}, \mathrm{R}\) 与 \(\mathbf{C}\) 分别表示整数、有理数、实数和复数，显然 \(\mathbf{Z} \subset \mathbf{Q} \subset \mathbf{R} \subset \mathbf{C}\)

设 \(P\) 是复数集 \(\mathbf{C}\) 的子集, 若它满足以下条件: (1) \(P\) 中至少含有一个不为零的数；(2) 对于 \(P\) 中的任何两个数 \(a, b\)，均有 \(a+b \in P, a-b \in P, a b \in P\)，且当 \(b \neq 0\) 时，\(\frac{a}{b} \in P\)，则称 \(P\) 为一个数域

根据上述定义，有理数集 \(\mathbf{Q}\) 、实数集 \(\mathbf{R}\) 、复数集 \(\mathbf{C}\) 都是数域，整数集 \(\mathbf{Z}\) 不是数域。由于一个数域 \(P\) 至少含有一个不为零的数，设 \(a \in P\) 且 \(a \neq 0\)，则 \(a-a=0 \in P, \frac {a} {a}=1 \in P\)​，可见任何数域都包含数 0 与 1

设 \(P\) 是一个数域，\(a_0, a_1, \cdots, a_n\) 是 \(P\) 中的数，\(n\) 是一个非负整数。表达式 \(a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0=\sum_{i=0}^n a_i x^n=f(x)\) 称为系数在数域 \(P\) 中的 \(x\) 的一元多项式，或称为数域 \(P\) 上的 \(x\) 的一元多项式

\(a_i\) 称为 \(i\) 次项的系数；\(a_0\) 称为常数项；若 \(a_n \neq 0\)，则称 \(a_n x^n\) 为最高次项 (或首项)，\(n\) 称为多项式 \(f(x)\) 的次数。系数全为零的多项式称为零多项式，零多项式不规定次数。非零多项式 \(f(x)\) 的次数记为 \(\partial f(x)\) 或 \(\operatorname{deg} f(x)\)​

若 \(P[x]\) 中两个多项式 \(f(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0\) 与 \(g(x)=b_n x^n+\cdots+b_1 x+b_0\) 的同次项的系数都相等，即 \(a_i=b_i\)，则称多项式 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 相等，记为 \(f(x)=g(x)\)​。在数域 \(P\) 上两个多项式 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 相加、相减与相乘后还是 \(P\) 上的多项式，但它们相除就不一定是 \(P\) 上的多项式²

不动点

函数的不动点，是指被这个函数映射到其自身的一个点，即函数 \(f(x)\) 的取值过程中，如果有 \(x_0\) 使 \(f\left(x_0\right)=x_0\) ，就称 \(x_0\) 为 \(f(x)\) 的一个不动点³。对此定义，有两方面的理解：

1. 代数意义：若方程 \(f(x)=x\) 有实数根 \(x_0\) ，则 \(y=f(x)\) 有不动点 \(x_0\)
2. 几何意义：若函数 \(y=f(x)\) 与 \(y=x\) 有交点 \(\left(x_0, y_0\right)\), 则 \(x_0\) 为 \(y=f(x)\) 的不动点

不动点定理³是很多迭代算法的理论基础，例如方程的迭代算法：牛顿-拉弗森、雅可比等。下面罗列几个用于理解迭代算法的定理

1. 压缩映射：设 \(R\) 是距离空间，\(T\) 是 \(R\) 到自身的一个映射。如果存在数 \(\alpha, 0 \leqslant \alpha \lt 1\)，使 \(P(T x, T y) \leqslant \alpha P(x, y),(x, y \in R)\)，则称 \(T\) 是 \(R\) 上的压缩映射， \(\alpha\) 称为压缩系数
2. Bananch 不动点原理（压缩映像原理）：假设 \(R\) 是 Banach 空间 \(E\) 的非空闭子集，压缩映射 \(T\) 必有唯一的不动点，即存在唯一的 \(x^* \in R\)，使 \(T x^*=x^*\)
3. 设 \(f(x)\) 在 \([\mathrm{a}, \mathrm{b}]\) 上连续，且 \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) 的值域包含于 \([\mathrm{a}, \mathrm{b}]\) 中，则 \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) 在 \([\mathrm{a}, \mathrm{b}]\) 上必至少有一个不动点 \(x_0\)

微积分

连续但不可导函数

魏尔施特拉斯函数（Weierstrass function）是一类处处连续而处处不可导的实值病态函数，得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔施特拉斯⁴。其定义如下：

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos \left(b^n \pi x\right),\ 0\lt a\lt 1,\ ab\gt 1+\frac 3 2 \pi \]

魏尔施特拉斯函数可以被视为第一个分形函数，尽管这个名词当时还不存在。将魏尔施特拉斯函数在任一点放大，所得到的局部图都和整体图形相似。因此，无论如何放大，函数图像都不会显得更加光滑，也不存在单调的区间